（1）在等式Sn+m=

1

2

(S2n+S2m)-(n-m)2中，

分别令m=1，m=2，得

Sn+1=

1

2

(S2n+S2)-(n-1)2，①

Sn+2=

1

2

(S2n+S4)-(n-2)2，②

②-①，得an+2=2n-3+

S4-S2

2

，

在等式Sn+m=

1

2

(S2n+S2m)-(n-m)2中，

令n=1，m=2，得

S3=

1

2

(S2+S4)-1，

由题设知，S₂=11，S₃=19，

故S₄=29，

所以a_n+2=2n+6，（n∈N^*），

即a_n=2n+2，（n≥3，n∈N^*），

又a₂=6也适合上式，

故an=

5，n=1 2n+2，n≥2

，即Sn=n2+3n+1，n∈N*．

（2）记Sn2-

3

2

an+33=k2，（*）

n=1时，无正整数k满足等式（*）

n≥2时，等式（*）即为（n²+3n+1）²-3（n-10）=k²，

①当n=10时，k=131．

②当n＞10时，则k＜n²+3n+1，

∵k²-（n²+3n）²=2n²+3n+31＞0，

∴k＞n²+3n，

从而n²+3n＜k＜n²+3n+1，

∵n，k∈N^*，∴k不存在，从而无正整数k满足等式（*）．

③当n＜10时，则k＞n²+3n+1，

∵k∈N^*，∴k≥n²+3n+2，

从而（n²+3n+1）²-3（n-10）≥（n²+3n+2）²．

即2n²+9n-27≤0，

∵n∈N^*，∴n=1或2．

n=1时，k²=52，无正整数解；

n=2时，k²=145，无正整数解．

综上所述，满足等式（*）的n，k分别为n=10，k=131．