问题
解答题
给定正整数 n 和正数 M，对于满足条件a12+an+12≤M 的所有等差数列 a1，a2，a3，…．，试求 S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值．
答案
设公差为d，an+1=a，
则S=an+1+an+2+…a2n+1是以an+1=a为首项，d为公差的等差数列的前（n+1）项和，
所以S=an+1+an+2+…a2n+1=（n+1）a+
d．n(n+1) 2
同除以（n+1），得 a+
=nd 2
．S n+1
则M≥a12+an+12=(α-nd)2+a2=
(a+4 10
)2+nd 2
(4a-3nd)2≥1 10
(4 10
)2S n+1
因此|S|≤
（n+1）10 2
，M
且当 a=3 10
，d=M
•4 10 1 n
时，M
S=（n+1）〔3 10
+M
•n 2
•4 10 1 n
〕M
=（n+1）5 10
=M
（n+1）10 2 M
由于此时4a=3nd，故 a12+an+12=
(4 10
)2=S n+1
•4 10
M=M．10 4
所以，S的最大值为
（n+1）10 2
．M