问题
解答题
已知数列{an}满足a1=1，a2=
（1）求a3，a4，a5，a6的值及数列{an}的通项公式； （2）令bn=a2n-1•a2n，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证Tn＜3． |
答案
（1）分别令n=1，2，3，4
可求得：a3=3，a4=
，a5=5，a6=1 4 1 8
当n为奇数时，不妨设n=2m-1，m∈N*，则a2m+1-a2m-1=2．
∴{a2m-1}为等差数列，∴a2m-1=1+（m-1）•2=2m-1即am=n．
当n为偶数时，设n=2m，m∈N*，则2a2m+2-a2m=0．
∴{a2m}为等比数列，a2m=
•(1 2
)m-1=1 2
，故an=(1 2m
)1 2
．n 2
综上所述，an=n，(n为奇) (
)1 2
，(n为偶数)n 2
（2）bn=a2n-1•a2n=(2n-1)•1 2n
∴Tn=1×
+3×1 2
+5×1 22
++(2n-1)•1 23 1 2n
∴
Tn=1×1 2
+3×1 22
++(2n-3)•1 22
+(2n-1)•1 2n
，1 2n
两式相减：
Tn=1 2
+2[1 2
+1 22
++1 23
]-(2n-1)•1 2n 1 2n+1
=
+2•1 2
-(2n-1)•
(1-1 4
)1 2n-1 1- 1 2 1 2n+1
∴Tn=3-
，故Tn＜3．2n+3 2n