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问题 解答题
在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+
1
n
）an+
n+1
2n
．
（1）设bn=
an
n
，求数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
答案

（1）由已知得b1=a1=1，且

an+1
n+1
=
an
n
+
1
2n
，

即bn+1=bn+

1
2n
，从而b2=b1+
1
2
，

b3=b2+

1
22
，

bn=bn-1+

1
2n-1
（n≥2）．

于是bn=b1+

1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1
=2-
1
2n-1
（n≥2）．

又b1=1，

故所求的通项公式为bn=2-

1
2n-1
．

（2）由（1）知an=2n-

n
2n-1
，

故Sn=（2+4++2n）-（1+

2
2
+
3
22
+
4
23
+…+
n
2n-1
），

设Tn=1+

2
21
+
3
22
+
4
23
+…+
n
2n-1
，①

1
2
Tn=
1
2
+
2
22
+
3
23
+…+
n-1
2n-1
+
n
2n
，②

①-②得，

1
2
Tn=1+
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n-1
-
n
2n

=

1-
1
2n
1-
1
2
-
n
2n
=2-
2
2n
-
n
2n
，

∴Tn=4-

n+2
2n-1
．

∴Sn=n（n+1）+

n+2
2n-1
-4．

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