问题 解答题
已知数列{an}的前n项和Sn=-an-(
1
2
n-1+2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令cn=
n+1
n
an,Tn为数列{cn}的前n项和,试比较Tn
5n
2n+1
的大小.
答案

(1)由题意知a1=-a1-1+2,∴a1=

1
2

当n≥2时,Sn-1=-an-1-(

1
2
)n-2+2,

an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(

1
2
)n-1

2an=an-1+(

1
2
)n-1,即2n•an=2n-1an-1+1,

设bn=2nan,则bn-bn-1=1,

∵b1=2a1=1,∴bn=1+(n-1)=n=2nan

an=

n
2n

(2)由(1)得cn=

n+1
n
an=(n+1)(
1
2
)
n

Tn=2×

1
2
+3× (
1
2
)
2
 +4×(
1
2
)
3
+…+(n+1)×(
1
2
)
n
,①

1
2
Tn=(
1
2
)
2
+3×(
1
2
)
3
+4×(
1
2
)
4
+…+n(
1
2
)
n
+(n+1)(
1
2
)
n+1

①-②得

1
2
Tn=1+ (
1
2
)
2
 +(
1
2
)
3
+…+(
1
2
)
n
-(n+1)(
1
2
)
n+1

=1+

1
4
[1-(
1
2
)
n-1
]
1-
1
2
-(n+1)(
1
2
)
n+1

=

3
2
-
n+3
2n+1

Tn=3-

n+3
2n

Tn-

5n
2n+1
=
(n+3)(2n-2n-1)
2n(2n+1)

于是确定Tn

5n
2n+1
的大小等价于比较2n与2n+1的大小,

由2<2×1+1,22<2×2+1,23>2×3+1,24>2×4+1,

可猜想当n≥3时,2n>2n+1,证明如下.

(1)当n=3时,23>2×3+1,猜想成立.

(2)假设当n=k时,猜想成立,即2k>2k+1.

当 n=k+1时,2k+1=2•2k>2(2k+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k-1)>2(k+1)-1.

所以,当n=k+1时,猜想也成立.

综合(1)(2)可知,对一切n≥3的正整数,都有2n>2n+1.

∴当n=1,2时,Tn

5n
2n+1
.当n≥3时,Tn
5n
2n+1

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