设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=2an-2n+1（n∈N*）．（1）设

问题解答题

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（1）设b_n=

，求证：数列{b_n}是等差数列：
（2）设数列{c_n}满足c_n=

log2(

n+1

) +1

（n∈N^*），T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…c_nc_n+1，若对一切n∈N^*不等式2mT_n＞C_n恒成立，实数m的取值范围．

答案

（1）当n=1时：S₁=a₁=2a₁-2^1|1，解得a₁=4

当n≥2时

由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹　…①

且S_n-1=2a_n-1-2ⁿ　…②

①-②得：a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ

有：a_n=2a_n-1+2ⁿ

得

an-1

2n-1

=1，

∴b_n-b_n-1=1，

b1=

=2，

故数列{b_n}是以2为首项，以1为公差的等差数列．

（2）由（1）得：b_n=1+2（n-1）=2n-1，

即a_n=（n+1）•2ⁿ．

∴Cn=

n+1

，

∴Cn•Cn+1=

n+1

•

n+2

n+1

n+2

，

∴Tn=

n+2

，

由2mT_n＞c_n，得：2m(

n+2

)＞

n+1

，

得m＞

n+2

n(n+1)

，

又令f(n)=

n+2

n(n+1)

，

∴f(n+1)-f(n)=

n+3

(n+1)(n+2)

n+2

n(n+1)

n+1

(

n+3

n+2

)＜0，

故f（n）在n∈N^*时单调递减，

∴f(n)＜f(1)=

，

得m＞

．