（1）A_n（n，a_nn²）在抛物线C_n上，

∵y=a_nx²，

∴y^′=2a_nx，

则切线l_n的斜率为2a_nn，

切线方程为  y-a_nn²=2 a_nn（x-n）…（2分）

令x=0，得y=-a_nn²，，

∴B_n（0，-a_nn²），

又F_n（0，

1

4an

）

∴S_△AnBnFn=

1

2

（

1

4an

+a_nn²）n=n³

∴

1

4an

+a_nn²=2n²，即4n²a_n²-8n²a_n+1=0，…（3分）

∴△=64n⁴-16n²=16n²（4n²-1）＞0，

∵a_n＞1，

∴a_n=1+

1

2n

4n2-1

…（4分）

（2）证明：∵a_n=1+

1

2n

4n2-1

=1+

1- 1 4n2

，

{a_n}为递增数列，

∴a_n≥1+

1- 1 4

=1+

3

2

．…（6分）

又a_n＜1+

1

=2，

∴1+

3

2

≤a_n＜2．…（8分）

（3）．证明：bn=2an-

a

2n

=

1

4n2

…（9分）

∴b1+

2

b2+

3

b3+…+

n

bn=

1

4

(

1

12

+

2

22

+

3

32

+…+

n

n2

)

∵k≥2时，

k

k2

=

1

k • k • k

=

2

( k + k ) k • k

＜

2

( k + k-1 ) k • k-1

=

2( k - k-1 )

k • k-1

=2(

1

k-1

-

1

k

)…（12分）

∴b1+

2

b2+

3

b3+…+

n

bn≤

1

4

[1+2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

k-1

-

1

k

)]

=

1

4

[1+2(1-

1

n

)]=

1

4

(3-

2

n

)＜

3

4

…（14分）