问题
解答题
已知各项均为正数的数列{an} 满足
（1）求数列{an} 的通项公式； （2）令cn=1+
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答案
（1）因为an+12=2an2+anan+1，即（an+1+an）（2an-an+1）=0，
又an＞0，所以有2an-an+1=0，所以2an=an+1，所以数列{an}是公比为2的等比数列．
由a2+a4=2a3+4得2a1+8a1=8a1+4，解得a1=2，故an=2n（n∈N*）
（2）构造函数f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），则f′(x)=-x 1+x
当x＞0时，f′（x）＜0，即f（x）在（0，+∞）上单调递减
∴f（x）＜f（0）=0，∴ln（1+x）-x＜0
∴lncn=ln（1+
）=ln(1+n an
)＜n 2n n 2n
∴lnTn＜
+1 2
…+2 22 n 2n
记An=
+1 2
…+2 22
①，则n 2n
An=1 2
+1 22
…+2 23
+n-1 2n
②n 2n+1
∴①-②可得
An=1 2
+1 2
+1 22
…+1 23
-1 2n
=1-n 2n+1
＜1n+2 2n+1
∴An＜2
∴lnTn＜2
∴Tn＜e2＜9．