设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=1，Sn=13(an+1-1)，n∈N

问题解答题

设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=1，S_n=

(an+1-1)，n∈N^*．
（1）写出a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记bn=

log4an+1log4an+2

，数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较T_n与1的大小．

答案

（1）由已知易得：a₂=4，a₃=16 …（2分）

当n≥2时，由a_n+1=3S_n+1可得a_n=3S_n-1+1，两式相减得：a_n+1=4a_n，

又由于a₁=1，a₂=4，

所以数列{a_n}是以1为首项，4为公比的等比数列，

所以其通项公式为：a_n=4^n-1（n∈N^*）…（6分）

（2）由（1）可知bn=

log4an+1log4an+2

(n+1)n

n+1

…（8分）

则T_n=（1-

）+（

）+…+（

n+1

）=1-

n+1

＜1…（12分）