已知数列{an}，其前n项和Sn满足Sn+1=2λSn+1（λ是大于0的常数），

问题解答题

已知数列{a_n}，其前n项和S_n满足S_n+1=2λS_n+1（λ是大于0的常数），且a₁=1，a₃=4．

（1）求λ的值；

（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；

（3）设数列{na_n}的前n项和为T_n，求T_n．

答案

（1）由S_n+1=2λS_n+1得S₂=2λS₁+1=2λa₁+1=2λ+1，S₃=2λS₂+1=4λ²+2λ+1，∴a₃=S₃-S₂=4λ²，∵a₃=4，λ＞0，∴λ=1．（5分）

（2）由S_n+1=2S_n+1整理得S_n+1+1=2（S_n+1），

∴数列{S_n+1}是以S₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列，

∴S_n+1=2•2^n-1，∴S_n=2ⁿ-1，

∴a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（n≥2），

∵当n=1时a₁=1满足a_n=2^n-1，∴a_n=2^n-1．（10分）

（3）T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²++（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，①2T_n=1•2+2•2²++（n-2）•2^n-2+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，②

①-②得-T_n=1+2+2²++2^n-2+2^n-1-n•2ⁿ，

则T_n=n•2ⁿ-2ⁿ+1．（14分）