已知数列{an}满足a□1-12+a2-122+…+an-12n=n2+n(n∈

问题解答题

已知数列{a_n}满足

a□1-1

a2-1

+…+

an-1

=n2+n(n∈N*)．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{a_n}的前n项和S_n．

答案

（I）∵

a1-1

a2-1

+…+

an-1

=n2+n，(n∈N+)①

∴

a1-1

a2-1

+…+

an-1-1

2n-1

=（n-1）²+n-1=n²-n（n≥2，n∈N⁺），②

由①-②得：

an-1

=2n，∴a_n=n•2ⁿ⁺¹+1，n≥2，n∈N⁺，③

在①中，令n=1，得a₁=5，适合③式，∴a_n=n•2ⁿ⁺¹+1，n∈N⁺．

（II）设b_n=n•2ⁿ⁺¹，其前n项和为T_n，则：

T_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，①

2T_n=1×2³+2×2⁴+…+n×2ⁿ⁺²，②

②-①，得T_n=-2²-2³-…-2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²

=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．

∴S_n=T_n+n=（n-1）•2ⁿ⁺²+n+4．