若数列{an}的项构成的新数列{an+1-Kan}是公比为l的等比数列,则相应的数列{an+1-1an}是公比为k的等比数列,运用此性质,可以较为简洁的求出一类递推数列的通项公式,并简称此法为双等比数列法.已知数列{an}中,a1=
(1)试利用双等比数列法求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前n项和Sn. |
(1)有条件知:an+1-
an=1 10
,①1 2n+1
所以{an+1-
an}是公比为1 10
的等比数列,1 2
故{an+1-
an}是以首项为a2-1 2
a1=1 2
,公比为1 100
的等比数列,1 10
所以:an+1-
an=(1 2
)n+1,②1 10
由①、②得an=
(5 2
-1 2n+1
).1 10n+1
(2)Sn=a1+a2+…+an
═
(5 2 1 4
)+1 102
(5 2
-1 23
)+…+ 1 103
(5 2
-1 2n+1
)1 10n+1
=
[(5 2
+1 4
+…+1 23
)-(1 2n+1
+1 102
+…+1 103
)]1 10n+1
=
+11 9
•1 36
-1 10n
•5 4
.1 2n