问题 解答题
若数列{an}的项构成的新数列{an+1-Kan}是公比为l的等比数列,则相应的数列{an+1-1an}是公比为k的等比数列,运用此性质,可以较为简洁的求出一类递推数列的通项公式,并简称此法为双等比数列法.已知数列{an}中,a1=
3
5
a2=
31
100
,且an+1=
1
10
an+
1
2n+1

(1)试利用双等比数列法求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn
答案

(1)有条件知:an+1-

1
10
an=
1
2n+1
,①

所以{an+1-

1
10
an}是公比为
1
2
的等比数列,

{an+1-

1
2
an}是以首项为a2-
1
2
a1=
1
100
,公比为
1
10
的等比数列,

所以:an+1-

1
2
an=(
1
10
)n+1,②

由①、②得an=

5
2
(
1
2n+1
-
1
10n+1
).

(2)Sn=a1+a2+…+an

5
2
(
1
4
1
102
)+
5
2
(
1
23
-
1
103
)
+…+ 
5
2
(
1
2n+1
-
1
10n+1
)

=

5
2
[(
1
4
+
1
23
+…+
1
2n+1
)-(
1
102
+
1
103
+…+
1
10n+1
)]

=

11
9
+
1
36
1
10n
-
5
4
1
2n

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