问题
解答题
已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上．
（1）求a1和a2的值；
（2）求数列{an}，{bn}的通项an和bn；
（3）设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
答案
（1）∵an是Sn与2的等差中项
∴Sn=2an-2∴a1=S1=2a1-2，解得a1=2
a1+a2=S2=2a2-2，解得a2=4
（2）∵Sn=2an-2，Sn-1=2an-1-2，
又Sn-Sn-1=an，n≥2
∴an=2an-2an-1，
∵an≠0，
∴
=2（n≥2），即数列{an}是等比数列，∵a1=2，∴an=2nan an-1
∵点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，∴bn-bn+1+2=0，
∴bn+1-bn=2，即数列{bn}是等差数列，又b1=1，∴bn=2n-1，
（3）∵cn=（2n-1）2n
∴Tn=a1b1+a2b2+anbn=1×2+3×22+5×23++（2n-1）2n，
∴2Tn=1×22+3×23++（2n-3）2n+（2n-1）2n+1
因此：-Tn=1×2+（2×22+2×23++2×2n）-（2n-1）2n+1，
即：-Tn=1×2+（23+24++2n+1）-（2n-1）2n+1，
∴Tn=（2n-3）2n+1+6