已知函数f(x)=(x+2)2(x＞0)，设正项数列an的首项a1=2，前n项和

问题解答题

已知函数f(x)=(

)2(x＞0)，设正项数列a_n的首项a₁=2，前n 项和S_n满足S_n=f（S_n-1）（n＞1，且n∈N^*）．
（1）求a_n的表达式；
（2）在平面直角坐标系内，直线l_n的斜率为a_n，且l_n与曲线y=x²相切，l_n又与y轴交于点D_n（0，b_n），当n∈N^*时，记dn=

Dn+1Dn

|-1，若Cn=

2n+1

2dn+1dn

，求数列c_n的前n 项和T_n．

答案

（1）由Sn=(

Sn-1

)2得：

Sn-1

，所以数列{

}是以

为公差的等差数列．

∴

n，S_n=2n²，a_n=S_n-S_n-1=4n-2（n≥2），又a₁=2．∴a_n=4n-2（n∈N^*）

（2）设l_n：y=a_nx+b_n，由

y=anx+bn

y=x2

⇒x2-anx-b n=0，

据题意方程有相等实根，

∴△=a_n²+4b_n=0，

∴bn=-

an2=-

(4n-2)2=-（2n-1）²，

当n∈N⁺时，dn=

|bn-bn+1|-1=

|-(2n-1)2+(2n+1)2|-1=2n-1，

∴Cn=

(2n+1)2+(2n-1)2

2(4n2-1)

8n2+2

2(4n2-1)

4n2+1

4n2-1

=1+(

2n-1

2n+1

)，

∴T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n=n+(1-

)+(

)+…+(

2n-1

2n+1

)

=n+1-

2n+1

2n2+3n

2n+1

．