问题
解答题
数列{an}满足a1=1，an+1=
（Ⅰ）证明：数列{
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式an； （Ⅲ）设bn=n（n+1）an，求数列{bn}的前n项和Sn． |
答案
（Ⅰ）证明：由已知可得
=an+1 2n+1
，an an+2n
即
=2n+1 an+1
+1，2n an
即
-2n+1 an+1
=12n an
∴数列{
}是公差为1的等差数列（5分）2n an
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
=2n an
+(n-1)×1=n+1，2 a1
∴an=
（8分）2n n+1
（Ⅲ）由（Ⅱ）知bn=n•2n
Sn=1•2+2•22+3•23++n•2n
2Sn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1（10分）
相减得：-Sn=2+22+23++2n-n•2n+1=
-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1（12分）2(1-2n) 1-2
∴Sn=（n-1）•2n+1+2