问题
解答题
已知数列{an}满足a1=-1，an+1-2an-3=0数列{bn}满足bn=log2（an+3）．
（1）求{bn}的通项公式；
（2）若数列{2n+1bn}的前n项的和为sn，试比较sn与8n2-4n的大小．
答案
（1）由有an+1-2an-3=0，得：an+1+3=2（an+3），
∴an+3=（a1+3）2n-1=2n，
∴bn=log22n=n；
（2）∵Sn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1①
①×2得：2Sn=1×23+2×24+3×25+…+n×2n+2②
①-②得：Sn=22+23+24+…+2n+1-n×2n+2=
-n×2n+2，4(1-2n) 1-2
∴Sn=4+（n-1）×2n+2，
∴Sn-（8n2-4n）=4+（n-1）×2n+2-8n2+4n=（n-1）2n+2-4（2n+1）（n-1）=4（n-1）[2n-（2n+1）]
当n=1时，Sn-（8n2-4n）=0，即Sn=8n2-4n；
当n=2时，Sn-（8n2-4n）=4×（22-5）=-4，即Sn＜8n2-4n；
当n=3时，Sn-（8n2-4n）=4×2×（23-7）=8，即Sn＞8n2-4n；
当n＞3时，由指数函数的图象知总有2n＞（2n+1），
∴n＞3时，有Sn＞8n2-4n．