将n2个数排成n行n列的一个数阵： a11a12a13…a1n a21a22a2

问题解答题

将n²个数排成n行n列的一个数阵：

a₁₁a₁₂a₁₃…a_1n

a₂₁a₂₂a₂₃…a_2n

a₃₁a₃₂a₃₃…a_3n

…

a_n1a_n2a_n3…a_nn

已知a₁₁=2，a₁₃=a₆₁+1，该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列，其中m为正实数．

（1）求第i行第j列的数a_ij；

（2）求这n²个数的和．

答案

（1）由a₁₁=2，a₁₃=a₆₁+1得2m²=2+5m+1，

解得m=3或m=-

（舍去）．

a_ij=a_i1•3^j-1=[2+（i-1）m]3^j-1=（3i-1）3^j-1．

（2）S=（a₁₁+a₁₂+…+a_1n）+（a₂₁+a₂₂+…+a_2n）+…+（a_n1+a_n2+…+a_nn）

a11(1-3n)

1-3

a21(1-3n)

1-3

+…+

an_1

(

1-3n)

（3ⁿ-1）•

(2+3n-1)n

n（3n+1）（3ⁿ-1）．