问题
填空题
给定an=logn+1（n+2）（n∈N*），定义a1•a2…ak为整数k（k∈N*）叫做希望数，则区间[1，2009]内所有希望数的和为______．
答案
根据换底公式 logaN=
．logbN logba
得a1a2…ak=
为整数，lg(k+2) lg2
∴k+2=2m，m∈Z．k=2m-2
k分别可取22-2，23-2，24-2，，最大值2m-2≤2008，m最大可取10，
故和为22+23+…+210-18=2026．
故答案为：2026．