（1）x+

a

x+1

-1＞0，

x2+a-1

x+1

＞0，

因为a＞0，故当a＞1时，定义域为（-1，+∞）；

当a=1时，定义域为（-1，0）∪（0，+∞）；

当0＜a＜1时，定义域为(-1，-

1-a

)∪(

1-a

，+∞)．

（2）令g(x)=x+

a

x+1

-1=x+1+

a

x+1

-2，

当a∈（1，4）时，由（1）得x∈（-1，+∞），故x+1＞0，

所以g(x)=x+

a

x+1

-1=x+1+

a

x+1

-2≥2

a

-2，

当且仅当x+1=

a

x+1

即x=

a

-1时等号成立．

故f（x）的最小值为lg(2

a

-2)．

（3）∀x∈[0，+∞），恒有f（x）＞0，

即x+

a

x+1

-1＞1，

a

x+1

＞2-x，又x∈[0，+∞），

则a＞（2-x）（x+1），a＞-x²+x+2恒成立，故a＞2．