问题 解答题

已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,b4=54,a1+a2+a3=b2+b3

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

(2)数列{cn}满足cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Sn

答案

(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q

b4=b1q3=54,得q3=

54
2
=27,从而q=3

因此bn=b1 • qn-1=2 • 3n-1(3分)

又a1+a2+a3=3a2=b2+b3=6+18=24,∴a2=8

从而d=a2-a1=6,故an=a1+(n-1)•6=6n-4(6分)

(2)cn=anbn=4 • (3n-2) • 3n-1

Tn=1×30+4×31+7×32+…+(3n-5) • 3n-2+(3n-2) • 3n-1

3Tn=1×31+4×32+7×33+…+(3n-5) • 3n-1+(3n-2) • 3n(9分)

两式相减得-2Tn=1+3×31+3×32+3×33+…+3×3n-1-(3n-2) • 3n

=1+3 • 

3 • (3n-1-1)
3-1
-(3n-2)•3n=1+
9(3n-1-1)
2
-(3n-2) • 3n

Tn=

7
4
+
3n(6n-7)
4
,又Sn=4Tn=7+(6n-7) • 3n(12分).

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