问题
解答题
数列{an} 中a1=
（ I ） 求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn； （Ⅱ）记 bn=
（Ⅲ）试确定Tn与
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答案
（I）s n+1-sn=(
)n+1得an+1=(1 2
)n+1（n∈N*）（1分）1 2
又a1=
，故an=(1 2
)n（n∈N*）（2分）1 2
从而sn=
=1-(
[1-(1 2
)n]1 2 1- 1 2
)n（4分）1 2
（Ⅱ）由（I）bn=
=n+1 2an
=n+1 2×2n
Tn=n+1 2n+1
+2 22
+3 23
++4 24
，（5分）n+1 2n+1
Tn= 1 2
+2 23
+3 24
++4 25
+n 2n+1
（6分）n+1 2n+2
两式相减，得
Tn= 1 2
+2 22
+1 23
+1 24
++1 25
-1 2n+1
（7分）n+1 2n+2
=
+1 2
-
×(1-1 23
)1 2n-1 1- 1 2
=n+1 2n+2
-3 4
-1 2n+1
（8分）n+1 2n+2
所以Tn=
-3 2
-1 2n
=n+1 2n+1
-3 2
（9分），n+3 2n+1
（Ⅲ）Tn-
=5n 4n+2
-3 2
-n+3 2n+1
=5n 4n+2 (n+3)(2n-2n-1) 2n+1(2n+1)
于是确定Tn与
的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小（10分）5n 4n+2
n=1时2＜2+1，n=2时22＜2×2+1，n=3时23＞2×3+1（11分）
令g（x）=2x-2x-1，g′（x）=2xln2-2，x＞2时g（x）为增函数，（12分）
所以n≥3时g（n）≥g（3）=1＞0，2n≥2n+1，（13分）
综上所述n=1，2时Tn＜
n=3时Tn＞5n 4n+2
（14分）5n 4n+2
