设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=n3，n∈N*．（1

问题解答题

设数列{a_n}满足a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=

，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）设bn=

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

答案

（1）∵a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-1a_n=

，①

∴当n≥2时，a₁+3a₂+3²a₃+…+3^n-2a_n-1=

n-1

．②

①-②，得3^n-1a_n=

，an=

（n≥2），

在①中，令n=1，

得a1=

．∴an=

．

（2）∵bn=

，

∴b_n=n•3ⁿ．

∴S_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ．③

∴3S_n=3²+2×3³+3×3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹．④

④-③，得2S_n=n•3ⁿ⁺¹-（3+3²+3³+…+3ⁿ），

即2S_n=n•3ⁿ⁺¹-

3(1-3n)

1-3

．

∴Sn=

(2n-1)3n+1

．