已知数列{an}的通项公式an=log2n+1n+2(n∈N*)，设前n项和为S

问题填空题

已知数列{a_n}的通项公式an=log2

n+1

n+2

(n∈N*)，设前n项和为S_n，则使S_n＜-5成立的自然数n的最小值是______．

答案

由题意可知；a_n=log₂

n+1

n+2

（n∈N^*），

设{a_n}的前n项和为S_n=log₂

+log₂

+…+log₂

n+1

+log₂

n+1

n+2

，

=[log₂2-log₂3]+[log₂3-log₂4]+…+[log₂n-log₂（n+1）]+[log₂（n+1）-log₂（n+2）]

=[log₂2-log₂（n+2）]=log₂

n+2

＜-5，

即

n+2

＜2^{-5
解得n＞62，
∴使S_n＜-5成立的自然数n有最小值为63，
故答案为：63．}