问题 解答题
已知函数f(x)=log3(ax-b)的图象过点A(2,1),B(5,2),
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)记an=3f(n)(n∈N*),是否存在正数k,使得(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥k
2n+1
对一切n∈N*均成立,若存在,求出k的最大值;若不存在,说明理由.
答案

(1)由题意得

log3(2a+b)=1
log3(5a+b)=2
,解得 a=2,b=-1,所以f(x)=log3(2x-1),

(2)因为an=3log3(2n-1)=2n-1.

假设存在正数k,使得(1+

1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥k
2n+1
对一切n∈N*均成立,

则k≤

1
2n+1
(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)恒成立.

记F(n)=

1
2n+1
(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
).

则F(n+1)=

1
2n+3
(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)(1+
1
an+1
).

F(n+1)
F(n)
=
2n+2
(2n+1)(2n+3)
=
2(n+1)
4(n+1) 2-1
2(n+1)
2(n+1)
=1.

∴.F(n+1)>F(n),所以F(n)是递增数列.

所以n1=时F(n)最小,最小值F(1)=

2
3
3

所以k≤

2
3
3
.即k的最大值为
2
3
3

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