问题
解答题
已知函数f(x)=log3(ax-b)的图象过点A(2,1),B(5,2), (1)求函数f(x)的解析式; (2)记an=3f(n)(n∈N*),是否存在正数k,使得(1+
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答案
(1)由题意得
,解得 a=2,b=-1,所以f(x)=log3(2x-1),log3(2a+b)=1 log3(5a+b)=2
(2)因为an=3log3(2n-1)=2n-1.
假设存在正数k,使得(1+
)(1+1 a1
)…(1+1 a2
)≥k1 an
对一切n∈N*均成立,2n+1
则k≤
(1+1 2n+1
)(1+1 a1
)…(1+1 a2
)恒成立.1 an
记F(n)=
(1+1 2n+1
)(1+1 a1
)…(1+1 a2
).1 an
则F(n+1)=
(1+1 2n+3
)(1+1 a1
)…(1+1 a2
)(1+1 an
).1 an+1
∵
=F(n+1) F(n)
=2n+2 (2n+1)(2n+3)
>2(n+1) 4(n+1) 2-1
=1.2(n+1) 2(n+1)
∴.F(n+1)>F(n),所以F(n)是递增数列.
所以n1=时F(n)最小,最小值F(1)=
.2 3 3
所以k≤
.即k的最大值为2 3 3
.2 3 3