（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=3S_n+1，

a₂=4，a₃=16．…（2分）

由题意，a_n+1=3S_n+1，

则当n≥2时，a_n=3S_n-1+1．

两式相减，化简得a_n+1=4a_n（n≥2）．…（4分）

又因为a₁=1，a₂=4，，

则数列{a_n}是以1为首项，4为公比的等比数列，

所以an=4n-1（n∈N^*）             …（6分）

（Ⅱ）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan=1+2×4+3×42+…+n•4n-1，

4Tn=4×1+2×42+3×43+…+(n-1)•4n-1+n•4n，…（8分）

两式相减得，-3Tn=1+4+42+…+4n-1-n•4n=

1-4n

1-4

-n•4n．…（12分）

化简整理得，T_n=4n(

n

3

-

1

9

)+

1

9

（n∈N^*）．…（13分）