问题
解答题
数列{an}中，a1=3，Sn为其前n项的和，满足Sn=Sn-1+an-1+2n-1（n≥2），令bn=
（1）写出数列{an}的前四项，并求数列{an}的通项公式 （2）若f（x）=2x-1，求和：b1f（1）+b2f•（2）+…+bnf（n） （3）设cn=
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答案
（1）数列的前四项：a1=3，a2=5，a3=9，a4=17（2分）
Sn=Sn-1+an-1+2n-1（n≥2）⇒an=an-1+2n-1（n≥2）（3分）
当n≥2时，an=（an-an-1）+•+（a2-a1）+a1=2n-1••+2n-2++22+2•+3=2n+1
经验证a1也符合，所以an=2n．+1（5分）
（2）bnf(n)=
=2n-1 (2n+1)(2n+1+1)
(1 2
-1 2n+1
)，（7分）1 2n+1+1
∴b1f（1）+b2f（•2）+…+bnf（n）=
(1 2
-1 2+1
)+1 22+1
(1 2
-1 22+1
)+1 23+1
(1 2
-1 23+1
)+…+1 24+1
(1 2
-1 2n+1
)=1 2n+1+1
(1 2
-1 2+1
)=1 2n+1+1
-1 6
（9分）1 2n+2+2
（3）由cn=
＜n 2n-1 n 2n
得Qn=
+1 2+1
+…+1 22+1
＜1 2n+1
+1 2
+…+2 22
（11分）n 2n
令Tn=
+1 2
+2 22
+…+3 23 n 2n
则
Tn=1 2
+1 22
+2 23
+…+3 24
，n 2n+1
相减，得
Tn=1 2
+1 2
+1 22
+…+1 23
-1 2n
=n 2n+1
-
×(1-1 2
)1 2n 1- 1 2
=1-n 2n+1
-1 2n n 2n+1
所以Tn=2-n+2 2n
所以Qn＜
+1 2
+…+2 23
=2-n 2n
＜2（14分）n+2 2n