若数列{an}的前n项和Sn是（1+x）n二项展开式中各项系数的和（n=1，2，

问题解答题

若数列{a_n}的前n项和S_n是（1+x）ⁿ二项展开式中各项系数的和（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1），且c_n=

an•bn

，求数列{c_n}的通项及其前n项和T_n．

答案

（Ⅰ）由题意S_n=2ⁿ，S_n-1=2^n-1（n≥2），

两式相减得a_n=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n≥2）．

当n=1时，a₁=S₁=2，

∴a_n=

2 n=1

2n-1 n≥2

．

（Ⅱ）∵b_n+1=b_n+（2n-1），

∴b_n-b_n-1=2n-3

b_n-1-b_n-2=2n-5

…

b₄-b₃=5

b₃-b₂=3

b₂-b₁=1，

以上各式相加得b_n-b₁=1+3+5+…+（2n-3）

(n-1)(1+2n+3)

=（n-1）²

∵b₁=-1，∴b_n=n²-2n．

∴cn=

-2，n=1

(n-2)×2n-1，n≥2

．

∴T_n=-2+0×2¹+1×2²+2×2³+…+（n-2）×2^n-1，

∴2T_n=-4+0×2²+1×2³+2×2⁴+…+（n-2）×2ⁿ．

∴-T_n=2+2²+2³+…+2^n-1-（n-2）×2ⁿ

2(1-2n-1)

1-2

-(n-2)×2n

=2ⁿ-2-（n-2）×2ⁿ=-2-（n-3）×2ⁿ．

∴T_n=2+（n-3）×2ⁿ．