（1）根据点M在直线x=

1

2

上，设M(

1

2

，yM)，则

AM

=(

1

2

-x1，yM-y1)，

MB

=(x2-

1

2

，y2-yM)，

∵

AM

=

MB

，∴x₁+x₂=1．

①当x1=

1

2

时，x₂=

1

2

，y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=-1-1=-2；

②当x₁≠

1

2

时，x₂≠

1

2

，y1+y2=-2

2x1

1-2x1

+

2x2

1-2x2

=

2x1(1-2x2)+2x2(1-2x1)

(1-2x1)(1-2x2)

=

2(x1+x2)-8x1x2

1-2(x1+x2)+4x1x2

=

2(1-4x1x2)

4x1x2-1

=-2；

综合①②得，y₁+y₂=-2．

（2）由（1）知，当x₁+x₂=1时，y₁+y₂=-2．

∴f(

k

n

)+f(

n-k

n

)=-2，k=0，1，2，…，n-1，

∴n≥2时，S_n=f(

1

n

)+f(

2

n

)+f(

3

n

)+…+f(

n-1

n

)，①S_n=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+f(

n-3

n

)+…+f(

1

n

)，②

①+②得，2S_n=-2（n-1），则S_n=1-n．

又n=1时，S₁=0满足上式，∴S_n=1-n．

∴an=2Sn=21-n，∴T_n=1+

1

2

+…+(

1

2

)n-1=2-

2

2n

．

∵

Tm-c

Tm+1-c

＜

1

2

，∴

2(Tm-c)-(Tm+1-c)

2(Tm+1-c)

＜0

∴

c-(2Tm-Tm+1)

c-Tm+1

＜0

∵Tm+1=2-

1

2m

，∴2Tm-Tm+1=4-

4

2m

-2+

1

2m

=2-

3

2m

，

∴

1

2

≤2-

3

2m

＜c＜2-

1

2m

＜2，c，m为正整数，∴c=1，

当c=1时，

2- 3 2m ＜1 2- 1 2m ＞1

，∴1＜2^m＜3，∴m=1．

（3）bn=31-Sn=3ⁿ，bibj=3i+j，(1≤i≤j≤n)．

将所得的积排成如下矩阵：A=

31+1 31+2 31+3 … 31+n   32+2 32+3 … 32+n     33+3 … 33+n       … …         3n+n

，设矩阵A的各项和为S．

在矩阵的左下方补上相应的数可得B=

31+1 31+2 31+3 … 31+n 32+1 32+2 32+3 … 32+n 33+1 33+2 33+3 … 33+n … … … … … 3n+1 3n+2 3n+3 … 3n+n

矩阵B中第一行的各数和S1=32+33+…+31+n=

1

2

(3n+2-9)，

矩阵B中第二行的各数和S2=33+34+…+32+n=

3

2

(3n+2-9)，

…

矩阵B中第n行的各数和Sn=3n+1+3n+2+…+3n+n=

3n-1

2

(3n+2-9)，

从而矩阵B中的所有数之和为S1+S2+…+Sn=

9

4

(3n-1)2．

所以S=

1

2

[

9

4

(3n-1)2-(32+34+…+32n)]=

9×32n-36×3n+27

16

．