错位相减法求和：求和：Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n-1）xn-1．

问题解答题

错位相减法求和：求和：S_n=1+3x+5x²+7x³+…+（2n-1）x^n-1．

答案

由题可知，{（2n-1）x^n-1}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{x^n-1}的通项之积．

∵S_n=1+3x+5x²+7x³+…+（2n-1）x^n-1，

∴xSn=x+3x2+…+(2n-3)xn-1+（2n-1）xⁿ，

两式相减得（1-x）S_n=1+2x+2x²+…+2x^n-1-（2n-1）xⁿ，

①当x≠1，0时，由等比数列的求和公式得：（1-x）S_n=1+

2x(1-xn-1)

1-x

-(2n-1)xn，

∴Sn=

(2n-1)xn+1-(2n+1)xn+(1+x)

(1-x)2

；

②当x=1时，S_n=1+3+5+…+（2n-1）=

n(1+2n-1)

=n²．

③当x=0时，S_n=1+0=1．