已知正项数列{an}满足Sn+Sn-1=tan2+2（n≥2，t＞0），a1=1

问题解答题

已知正项数列{a_n} 满足S_n+Sn-1=ta_n²+2（n≥2，t＞0），a₁=1，其中S_n是数{a_n} 的前n项和．
（1）求a₂及通项a_n；
（2）记数列{

anan+1

}的前n项和为T_n，若T_n＜2对所有的n∈N⁺都成立，求证：0＜t≤1．

答案

（1）a₁=1，S₂+S₁=ta₂²+2得a₂=0（舍去）或a2=

，

又S_n+Sn-1=ta_n²+2 （1）

S_n-1+S_n-2=ta_n-1²+2（n≥3）（2）

（1）-（2）得a_n+a_n-1=t（a_n²-a_n-1²）（n≥3），

因为数列{a_n}为正项数列，∴an-an-1=

(n≥3)，

即数列{a_n}从第二项开始是公差为

的等差数列．∴an=

1(n=1)

n-1

(n≥2)

----7 分

（2）当n=时T₁=t＜2；

n≥2时，T_n=t+

1×2

2×3

+…+

(n-1)n

=t+t2

n-1

要使T_n＜2对所有n∈N^*恒成立，只t+t2

n-1

≤2成立，

故0t≤1得证----（14分）