在等比数列{an}中，an＞0（n∈N*），且a1a3=4，a3+1是a2和a4

问题解答题

在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），且a₁a₃=4，a₃+1是a₂和a₄的等差中项．

（I）求数列{a_n}的通项公式；

（II）若数列{b_n}满足b_n=a_n+1+log₂a_n（n=1，2，3…），求数列{b_n}的前n项和S_n．

答案

（I）设等比数列{a_n}的公比为q．

由a₁a₃=4可得a₂²=4，（1分）

因为a_n＞0，所以a₂=2（2分）

依题意有a₂+a₄=2（a₃+1），得2a₃=a₄=a₃q（3分）

因为a₃＞0，所以，q=2..（4分）

所以数列{a_n}通项为a_n=2^n-1（6分）

（II）b_n=a_n+1+log₂a_n=2ⁿ+n-1（18分）

可得Sn=(2+22+23++2n)+[1+2+3++(n-1)]=

2(1-2n)

1-2

(n-1)n

（12分）

=2n+1-2+

n(n-1)

（13分）