问题
解答题
| 已知数列{an}中的相邻两项a2k-1，a2k是关于x的方程x2-（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根，且a2k-1≤a2k（k=1，2，3，…）． （I）求a1，a3，a5，a7； （II）求数列{an}的前2n项和S2n； （Ⅲ）记f(n)=
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答案
（I）方程x2-（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根为x1=3k，x2=2k，
当k=1时，x1=3，x2=2，所以a1=2；
当k=2时，x1=6，x2=4，所以a3=4；
当k=3时，x1=9，x2=8，所以a5=8时；
当k=4时，x1=12，x2=16，所以a7=12．
（II）S2n=a1+a2++a2n=（3+6++3n）+（2+22++2n）=
+2n+1-2．3n2+3n 2
（III）证明：Tn=
+1 a1a2
-1 a3a4
+…+1 a5a6
，(-1)f(n+1) a2n-1a2n
所以T1=
=1 a1a2
，T2=1 6
+1 a1a2
=1 a3a4
．当n≥3时，Tn=5 24
+1 6
-1 a3a4
+…+1 a5a6
，≥(-1)f(n+1) a2n-1a2n
+1 6
-(1 a3a4
+…+1 a5a6
)≥1 a2n-1a2n
+1 6
-1 6•22
(1 6
+…+1 23
)=1 2n
+1 6
-1 6•22
(1-1 24
)＞ 1 2n-3
，1 6
同时，Tn=
-5 24
-1 a5a6
+…+1 a7a8
≤(-1)f(n+1) a2n-1a2n
-5 24
+(1 a5a6
+…+1 a7a8
)≤1 a2n-1a2n
-5 24
+1 9•23
(1 9
+…+1 24
)=1 2n
-5 24
+1 9•23
•1 9
(1-1 23
)＜ 1 2n-3
．5 24
综上，当n∈N*时，
≤Tn≤1 6
．5 24