已知等差数列{an}的公差不为零，且a3=5，a1，a2．a5成等比数列（I）求

问题解答题

已知等差数列{a_n}的公差不为零，且a₃=5，a₁，a₂．a₅ 成等比数列
（I）求数列{a_n}的通项公式：
（II）若数列{b_n}满足b₁+2b₂+4b₃+…+2n^-1b_n=a_n且数列{b_n}的前n项和T_n 试比较T_n与

3n-1

n+1

的大小．

答案

（Ⅰ）在等差数列中，设公差为d≠0，

由题意

a1a5=

a3=5

，∴

a1(a1+4d)=(a1+d)2

a1+2d=5

，

解得

a1=1

d=2

．

∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．

（Ⅱ）∵b₁+2b₂+4b₃+…+2n^-1b_n=a_n，①

b₁+2b₂+4b₃+…+2n-1bn+2nbn=an+1，②

②-①得2ⁿb_n+1=2，∴bn+1=21-n．

当n=1时，b₁=a₁=1，∴bn=

22-n，当m≥2时

1，当n=1时

，

当n=1时，T₁=a₁=1，

3×1-1

1+1

=1，此时Tn=

3n-1

n+1

．

当n≥2时，T_n=1+4(

+…+

)

=1+

4×

(1-

2n-1

)

=3-

2n-2

．

又2n=(1+1)n=

+…+

＞n+1，

∴

2n-2

＜

n+1

，3-

2n-2

＞3-

n+1

3n-1

n+1

．

∴当n=1时，Tn=

3n-1

n+1

，当n≥2时，Tn＞

3n-1

n+1

．