问题 解答题
已知等差数列{an}的公差不为零,且a3=5,a1,a2.a5 成等比数列
(I)求数列{an}的通项公式:
(II)若数列{bn}满足b1+2b2+4b3+…+2n-1bn=an且数列{bn}的前n项和Tn 试比较Tn
3n-1
n+1
的大小.
答案

(Ⅰ)在等差数列中,设公差为d≠0,

由题意

a1a5=
a22
a3=5
,∴
a1(a1+4d)=(a1+d)2
a1+2d=5

解得

a1=1
d=2

∴an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.

(Ⅱ)∵b1+2b2+4b3+…+2n-1bn=an,①

b1+2b2+4b3+…+2n-1bn+2nbn=an+1,②

②-①得2nbn+1=2,∴bn+1=21-n

当n=1时,b1=a1=1,∴bn=

22-n,当m≥2时
1,当n=1时

当n=1时,T1=a1=1,

3×1-1
1+1
=1,此时Tn=
3n-1
n+1

当n≥2时,Tn=1+4(

1
22
+
1
23
+…+
1
2n
)

=1+

1
22
(1-
1
2n-1
)
1-
1
2
=3-
1
2n-2

2n=(1+1)n=

C0n
+
C1n
+…+
Cnn
>n+1,

1
2n-2
=
4
2n
4
n+1
3-
1
2n-2
>3-
4
n+1
=
3n-1
n+1

∴当n=1时,Tn=

3n-1
n+1
,当n≥2时,Tn
3n-1
n+1

选择题
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