问题
解答题
已知正实数a，b，c成等差数列，且a+b+c=15．
（I）求b的值；
（II）若a+1，b+1，c+4成等比数列；
（i）求a，c的值；
（ii）若a，b，c为等差数列{an}的前三项，求数列{an•xn-1}(x≠0)的前n项和．
答案
（I）由题意，得a+b+c=15 (1) a+c=2b (2)
由（1）（2）两式，解得b=5（4分）
（II）（i）因为a+1，b+1，c+4成等比数列，
所以（a+1）（c+4）=（b+1）2（3）
由（2）式，得c=10-a代入（3），整理得a2-13a+22=0
解得a=2或a=11
故a=2，c=8或a=11，c=-1（舍）
所以a=2，c=8（8分）
（ii）因为a，b，c为等差数列{an}的前三项，
所以an=3n-1(n∈N*)
当x=1时，数列{an•xn-1}的前n项Sn=2+5+8+…+3n-1=n(3n+1) 2
当x≠1时，数列{an•xn-1}的前n项Sn=2+5x+8x2+…+(3n-1)xn-1①xSn=2x+5x2+8x3+…+(3n-4)xn-1+(3n-1)xn②
①-②：(1-x)Sn=2+3x+3x2+3x3+…+3xn-1-(3n-1)xn=2+3
-(3n-1)xnx(1-xn-1) 1-x
所以Sn=
（12分）2+x-(3n+2)xn+(3n-1)xn+1 (1-x)2