已知等差数列{an}的公差大于零，且a2，a4是方程x2-18x+65=0的两个

问题解答题

已知等差数列{a_n}的公差大于零，且a₂，a₄是方程x²-18x+65=0的两个根；各项均为正数的等比数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足b₃=a₃，S₃=13．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足cn=

an ，n≤5

bn ，n＞5

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

答案

（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则

由x²-18x+65=0解得x=5或x=13

因为d＞0，所以a₂＜a₄，则a₂=5，a₄=13

则

a1+d=5

a1+3d=13

，解得a₁=1，d=4

所以a_n=1+4（n-1）=4n-3…（4分）

因为

b3=b1q2=9

b1+b1q+b1q2=13

，因为q＞0，解得b₁=1，q=3

所以bn=3n-1…（7分）

（2）当n≤5时，T_n=a₁+a₂+…+a_n

=n+

n(n-1)

×4=2n²-n…（9分）

当n＞5时，T_n=T₅+（b₆+b₇+…+b_n）

=(2×52-5)+

33(1-3n-5)

1-3

3n-153

所以Tn=

2n2-n，n≤5

3n-153

，n＞5

…（14分）