设数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Snn）（n∈N*）均在函数y=-x+1

问题解答题

设数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，

）（n∈N^*）均在函数y=-x+12的图象上．
（1）写出S_n关于n的函数表达式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）计算T₁₆=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₁₆|；
（4）已知bn=

an-13

，若对一切n∈N^*均有S_n-3＜m•b_n成立，求实数m的取值范围．

答案

（1）由题意，∵点（n，

）（n∈N^*）均在函数y=-x+12的图象上，∴

=-n+12

∴S_n=-n²+12n；

（2）当n=1时，a_n=a₁=S₁=11；

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-n²+12n）-[-（n-1）²+12（n-1）]=-2n+13，

∴n=1时，结论成立

∴a_n=-2n+13；

（3）T₁₆=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₁₆|=a₁+a₂+a₃+…+a₆-a₇-…-a₁₆=2（a₁+a₂+a₃+…+a₆）-（a₁+a₂+a₃+…+a₆+a₇+…+a₁₆）

=2S₆-S₁₆=136；

（4）bn=

an-13

=-n，若对一切n∈N^*均有S_n-3＜m•b_n成立，即为-n²+12n-3＜-mn对一切n∈N^*均成立…（10分）

即m＜n+

-12对一切n∈N^*均成立

∴m＜-

…（12分）