问题
解答题
| 设数列n2an的前n项和为Sn，且Sn=n（n+1）（n+2），n∈N*． （1）求数列an的通项公式； （2）若数列bn满足bn=a1a2a3…an，n∈N*，求数列bn的通项公式及前n项和Tn； （3）在（2）的条件下，求证：
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答案
（1）当n=1时，a1=6；
当n≥2时，Sn=n（n+1）（n+2）①
Sn-1=（n-1）n（n+1）②
由①-②得：n2an=3n（n+1），即an=
．3(n+1) n
综上得：an=
．（4分）3(n+1) n
（2）因为an=
，3(n+1) n
所以bn=a1a2a3an=
×3×2 1
×3×3 2
××3×4 3
=3n(n+1)．3(n+1) n
故bn=3n（n+1）．（6分）
Tn=2•3+3•32+4•33+…+n•3n-1+（n+1）•3n．③
3Tn=2•32+3•33+4•34+…+n•3n+（n+1）•3n+1．④
③-④得：-2Tn=2•3+32+33+…+3n-（n+1）•3n+1=
•3n+1+ 1 2
-(n+1)•3n+13 2
化简得：Tn=(
+n 2
)•3n+1-1 4
．（9分）3 4
（3）由bn=3n（n+1），得
=3n bn
，等式两端同时乘以1 n+1
，1 n
得
=3n nbn
．则有1 n(n+1)
+3 b1
+ 32 2b2
+…+33 3b3
=3n nbn
+1 1×2
+1 2×3
+…1 3×4 1 n(n+1)
1-
+1 2
-1 2
+…+ 1 3
-1 n 1 n+1
=1-1 n+1
=
．（12分）n n+1