在数列{an}中，a1=1，数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1-（n+3）

问题解答题

在数列{a_n}中，a₁=1，数列{a_n}的前n项和S_n满足nS_n+1-（n+3）S_n=0．

（Ⅰ）求a₂；

（Ⅱ）求a_n；

（Ⅲ）若b_n=（n+1）²（n∈N），T_n=（-1）^a₁b₁+（-1）^a₂b₂+…+（-1）^a_nb_n，n∈N，求T_n．

答案

（Ⅰ）S₁=4，∴a₂=3．

（Ⅱ）∵nS_n+1=（n+3）S_n…①∴当n≥2时，有（n-1）S_n=（n+2）S_n-1…②

①-②有na_n+1=（n+2）a_n（n≥2），

∴2a3=4a₂，3a₄=5a₃，…（n-1）a_n=（n+1）a_n+1（n≥3）

将以上各式左右两端分别相乘，得（n-1）a_n=

(n+1)!

a₂，，∴a_n=

n(n+1)

，n≥3，

当n=1，2时也成立，∴a_n=

n(n+1)

（n∈N⁺）．

（Ⅲ）∵b_n=（n+1）²（n∈N），∴T_n=（-1）^a₁b₁+（-1）^a₂b₂+…+（-1）^a_nb_n=-2²-3²+…+(-1)

n(n+1)

（n+1）²，

当n=4k，k∈N⁺时，T_n=-2²-3²+4²+5²+…-（4k-2）²-（4k-1）²+（4k）²+（4k+1）²

∵-（4k-2）²-（4k-1）²+（4k）²+（4k+1）²=32k-4

∴T_n=32（1+2+3+…+k）-4k=（4k）²+12k=n²+3n

当，k∈N⁺时，T_n=（4k）²+3×4k-（4k+1）²=4k-1=n

当，k∈N⁺时，T_n=（4k）²+3×4k-（4k+1）²-（4k）²=4k-1-（4k）²=-n²-3n-3

当n=4k-3，k∈N⁺时，，T_n=（4k）²+3×4k-（4k+1）²+（4k-1）²=-4k=-n-3

∴T_n=

-n-3 n=4k-3

-n2-3n-3 n=4k-2

n n=4k-1

n2+3n n=4k