问题
解答题
数列{an}的通项公式为an=
（1）求f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值； （2）求f（n）的表达式； （3）数列{bn}满足b1=1，bn+1=2f（n）-1，它的前n项和为g（n），求证：当n∈N*时，g（2n）-
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答案
（1）f（1）=
，f（2）=3 4
，f（3）=2 3
，f（4）=5 8
．3 5
（2）由f（n）=（1-a1）（1-a2）…（1-an）
得：f（n-1）=（1-a1）（1-a2）…（1-an-1）（n＞1），
两式相除得：
=1-an=1-f(n) f(n-1)
=1 (n+1)2
（n＞1）．n(n+2) (n+1)2
∴f(n) f(n-1)
…f(n-1) f(n-2)
=f(2) f(1) n(n+2) (n+1)2 (n-1)(n+1) n2
…n(n-2) (n-1)2
，2×4 32
=f(n) f(1)
•n(n-1)(n-2)…2 (n+1)n…3
=(n+2)(n+1)…4 (n+1)n…3
•2 n+1
，n+2 3
∴f（n）=
（n＞1），又f（1）=n+2 2(n+1)
适合此式，3 4
∴f（n）=
．n+2 2(n+1)
（3）b n+1=2f（n）-1=
，1 n+1
g（n）=1+
+1 2
+…+1 3
，1 n
∴g（2n）=1+
+1 2
+…+1 3
．1 2n
设∅（n）=f（2n）-
，n 2
则∅（n）=1+
+1 2
+…+1 3
-1 2n
．n 2
∅（n+1）-∅（n）=1+
+1 2
+…+1 3
-1 2n+1
-（1+n+1 2
+1 2
+…+1 3
-1 2n
）n 2
=
+1 2n+1
+…+1 2n+2
-1 2n+1
．1 2
∵
+1 2n+1
+…+1 2n+2
的项数为2n，1 2n+1
∴
+1 2n+1
+…+1 2n+2
＞1 2n+1
+1 2n+1
+…+1 2n+1
=1 2n+1
×2n=1 2n+1
，1 2
∴∅（n+1）-∅（n）＞0．即数列{∅（n）}是单调递增数列．
其最小值为∅（1）=g（2）-
=11 2
∴∅（n）≥1即g（2n）-
≥1．n 2