已知数列{an}满足anan-1=n+1n-1(n∈N*，n＞1)，a1=2（I

问题解答题

已知数列{a_n}满足

an-1

n+1

n-1

(n∈N*，n＞1)，a₁=2
（I）求证：数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n+1）
（II）求数列{

}的前n项和T_n；
（III）是否存在无限集合M，使得当n∈M时，总有|Tn-1|＜

成立．若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由．

答案

证明：（I）由3S_n=（n+2）a_n

得3S_n-1=（n+1）a_n-1（n≥2）

二式相减得3a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1

∴（n-1）a_n=（n+1）a_n-1

∴

an-1

n+1

n-1

(n≥2)

∴

an-1

an-2

n-2

；…；

；

；a1=2

叠乘得：a_n=n（n+1）（n∈N^*）（7分）

（II）∵

n(n+1)

n+1

∴Tn=1-

+…+

n+1

=1-

n+1

（10分）

（III）令|Tn-1|=|

n+1

-1|=

n+1

＜

得：n+1＞10，n＞9

故满足条件的M存在，M={n∈N|n＞9，n∈N^*}是一个这样的集合（12分）