（1）∵

1

an

=(-1)n-

2

an-1

，∴

1

an

+(-1)n=(-2)[

1

an-1

+(-1)n-1]，

又∵

1

a1

+(-1)=3，所以数列{

1

an

+(-1)n}（n∈N^*）是以3为首项，-2为公比的等比数列，

∴an=

(-1)n-1

3×2n-1+1

．

（2）b_n=（3×2^n-1+1）²

=9•4^n-1+6•2^n-1+1，

∴Sn=9•

1•(1-4n)

1-4

+6•

1•(1-2n)

1-2

+n

=3•4ⁿ+6•2ⁿ+n-9．

（3）证明：由（1）知an=

(-1)n-1

3•2n-1+1

，sin

(2n-1)

2

=(-1)n-1，∴cn=

1

3•2n-1+1

，当n≥3时，则Tn=

1

3+1

+

1

3•2+1

+

1

3•22+1

++

1

3•2n-1+1

＜

1

4

+

1

7

+

1

3•22

+

1

3•23

++

1

3•2n-1

=

11

28

+

1 12 [1-( 1 2 )n-2]

1- 1 2

=

11

28

+

1

6

[1-(

1

2

)n-2]＜

11

28

+

1

6

=

47

84

＜

48

84

=

4

7

又∵T₁＜T₂＜T₃，

∴对任意的n∈N^*，T_n＜

4

7

．（12分）