已知数列{an}的前n项和Sn=2n，数列{bn}满足b1=-1，bn+1=bn

问题解答题

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ，数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1）（n=1，2，3，…）．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求数列{b_n}的通项b_n；
（3）若cn=

an•bn

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

答案

（1）∵S_n=2ⁿ，∴S_n-1=2^n-1，（n≥2）．

∴a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n≥2）．（2分）

当n=1时，2^1-1=1≠S₁=a₁=2，

∴an=

2 (n=1)

2n-1 (n≥2).

（4分）

（2）∵b_n+1=b_n+（2n-1），

∴b₂-b₁=1，b₃-b₂=3，b₄-b₃=5，…，b_n-b_n-1=2n-3，

以上各式相加得bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)=

(n-1)(1+2n-3)

=(n-1)2．

∵b₁=-1，∴b_n=n²-2n．（8分）

（3）由题意得cn=

-2 (n=1)

(n-2)×2n-1 (n≥2).

∴T_n=-2+0×2¹+1×2²+2×2³+…+（n-2）×2^n-1，

∴2T_n=-4+0×2²+1×2³+2×2⁴+…+（n-2）×2ⁿ，

∴-T_n=2+2²+2³+…+2^n-1-（n-2）×2ⁿ=

2(1-2n-1)

1-2

-(n-2)×2n

=2ⁿ-2-（n-2）×2ⁿ=-2-（n-3）×2ⁿ，

∴T_n=2+（n-3）×2ⁿ．（12分）．