设f（n）=n2，(n为奇数)-n2，(n为偶数)（n∈N+），若an=f（n）

问题解答题

设f（n）=

n2，(n为奇数)

-n2，(n为偶数)

（n∈N⁺），若a_n=f（n）+f（n+1），则a₁+a₂+…+a_k=______（k∈N⁺）

答案

∵a_n=f（n）+f（n+1），

∴由已知条件知，an=

n2-(n+1)2=-(2n+1) ， n是奇数

-n2+(n+1)2= 2n+1 ， n是偶数

，

∴an=(-1)n•(2n+1)，∴a_n+a_n+1=2（n是奇数）．

当k为奇数时，a₁+a₂+…+a_k=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_k-2+a_k-1）+a_k=2×

k-1

+（-2k-1）=-k-2．

当k为偶数时，a₁+a₂+…+a_k=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_k-1+a_k）=2×

=k．

综上可得 a₁+a₂+…+a_k=

k，(k为偶数)

-k-2，(k为奇数)

，

故答案为

k，(k为偶数)

-k-2，(k为奇数)

．