设数列a1，a2，…，an，…满足a1=a2=1，a3=2，且对任何自然数n，都

问题填空题

设数列a₁，a₂，…，a_n，…满足a₁=a₂=1，a₃=2，且对任何自然数n，都有a_na_n+1a_n+2≠1，又a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，则a₁+a₂+…+a₁₀₀的值是______．

答案

∵对任何自然数n，都有a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3 ①∴a_n+1a_n+2a_n+3a_n+4=a_n+1+a_n+2+a_n+3+a_n+4，②

②-①，得a_na_n+1a_n+2（a_n+4-a_n）=a_n+4-a_n，即（a_n+4-a_n）（a_na_n+1a_n+2-1）=0

由已知a_na_n+1a_n+2≠1，即a_na_n+1a_n+2-1≠0，只能a_n+4-a_n=0，即得a_n+4=a_n．

又a_na_n+1a_n+2a_n+3=a_n+a_n+1+a_n+2+a_n+3，a₁=a₂=1，a₃=2，得a₄=4．

故数列为，1，1，2，4的循环出现

∴a₁+a₂+…+a₁₀₀=25（1+1+2+4）=200．

故答案为：200