已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时an=an-1-3，(an-1

问题解答题

已知a为实数，数列{a_n}满足a₁=a，当n≥2时an=

an-1-3，(an-1＞3)

4-an-1，(an-1≤3)

，
（Ⅰ）当a=100时，求数列{a_n}的前100项的和S₁₀₀；
（Ⅱ）证明：对于数列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3．

答案

（1）当a=100时，由题意知数列a_n的前34项成首项为100，公差为-3的等差数列，

从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1，

从而S₁₀₀=（100+97+94+…+1）+（3+1+3+1+…+3+1）=

(100+1)×34

+(3+1)×

=1717+132=1849．

（2）证明：①若0＜a₁≤3，则题意成立；

②若a₁＞3，此时数列a_n的前若干项满足a_n-a_n-1=3，即a_n=a₁-3（n-1）．

设a₁∈（3k，3k+3]，（k≥1，k∈N^*），

则当n=k+1时，a_k+1=a₁-3k∈（0，3]．

从而，此时命题成立．

综上：对于数列{a_n}，一定存在k∈N^*，使0＜a_k≤3．