问题
解答题
| 数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1=2Sn+n+1，n∈N． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若bn=
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答案
（Ⅰ）∵a1=1，Sn+1=2Sn+n+1，
∴Sn+1+（n+1）+2=2（Sn+n+2），
并且S1+1+2=1+1+2=4，数列{Sn+n+1}组成一个以4为首项，2为公比的等比数列，
∴Sn+n+1=4×2n-1=2n+1，
Sn=2n+1-n-2．
∴a1=S1=22-1-2=1，
an=Sn-Sn-1
=（2n+1-n-2）-（2n-n-1）=2n-1，
当n=1时，2n-1=1=a1，
∴an=2n-1．
（Ⅱ）∵an=2n-1，
∴bn =
=n an+1-an
=n 2 n+1-2n
，n 2n
∴Tn=1×
+2×1 2
+…+n×1 2 2
，①1 2 n
Tn=1×1 2
+2×1 2 2
+…+n×1 2 3
，②1 2 n+1
①-②，得
Tn=1 2
+ 1 2
+1 2 2
+…+1 2 3
-n×1 2 n 1 2 n+1
=
-n×
(1-1 2
)1 2 n 1- 1 2 1 2 n+1
=1-
-1 2 n
，n 2 n+1
∴Tn=2-(2+n)(
)n1 2
∴Tn＜2．