问题
解答题
| 已知a1=b1=1，an+1=bn+n，bn+1=an+（-1）n，n∈N*． （1）求a3，a5的值； （2）求通项公式an； （3）求证：
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答案
（1）b2=a1-1=0，∴a3=b2+2=2，a5=a3+3=5；
（2）由题意，a3=a1+1，a5=a3+3，，a2n-1=a2n-3+（2n-3），
∴a2n-1=a1+
=n2-2n+2；(1+2n-3)(n-1) 2
同理，a2n=n2+n，∴an=
；
n为奇数n2-2n+5 4
+n2 4
n为偶数n 2
（3）当n≥3时，
=1 a2n-1
＜1 n2-2n+2
=1 n(n-2)
(1 2
-1 n-2
)，1 n
而
=1 a2n
=1 n(n+1)
-1 n
，(n∈N*)，∴1 n+1
+1 a1
+1 a2
++1 a3
=(1 a2n
+1 a1
++1 a3
)+(1 a2n-1
+1 a2
++1 a2
)1 a2n
＜
+1 a1
+1 a3
(1+1 2
-1 2
-1 n-1
)+(1-1 n
)＜1+1 n+1
+1 2
+1=3 4 13 4