问题
解答题
在数列{an}中，a1=3，an=2an-1+n-2（n≥2，且n∈N*）
（1）求a2，a3的值；
（2）证明：数列{an+n}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（3）求数列{an}的前n项和Sn．
答案
（1）∵a1=3，an=2an-1+n-2（n≥2，且n∈N+）
∴a2=2a1+2-2=6（2分）
a3=2a2+3-2=13（4分）
（2）证明：∵
=an+n an-1+(n-1)
=(2an-1+n-2)+n an-1+n-1
=22an-1+2n-2 an-1+n-1
∴数列an+n是首项为a1+1=4，
公比为2的等比数列．（7分）
∴an+n=4⋅2n-1=2n+1，
即an=2n+1-n
∴an的通项公式为an=2n+1-n（n∈N+）（9分）
（3）∵an的通项公式为an=2n+1-n（n∈N+）
∴Sn=（22+23+24+…+2n+1）-（1+2+3+…+n）（11分）
=
-22×(1-2n) 1-2
=2n+1-n×(n+1) 2
（13分）n2+n+8 2