已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n-a，n∈N*．设公差不为零的等差数列{

问题解答题

已知等比数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ-a，n∈N^*．设公差不为零的等差数列{b_n}满足：b₁=a₁+2，且b₂+5，b₄+5，b₈+5成等比．
（Ⅰ）求a及b_n；
（Ⅱ）设数列{log

a_n}的前n项和为T_n．求使T_n＞b_n的最小正整数n的值．

答案

（Ⅰ）∵等比数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ-a，n∈N^*，

∴a₁=S₁=2-a，

a₂=（2²-a）-（2-a）=2，

a₃=（2³-a）-（2²-a）=4，

∵a22=a1•a3，

∴2²=（2-a）•4，解得a=1，

∴an=2n-1．

∵公差不为零的等差数列{b_n}满足：b₁=a₁+2，且b₂+5，b₄+5，b₈+5成等比数列，

∴

b1=3

(b4+5)2=(b2+5)(b8+5)

，

∴（8+3d）²=（8+d）（8+7d），

解得d=0（舍），或d=8，

∴b_n=8n-5，n∈N^*．

（Ⅱ）∵an=2n-1，∴log

a_n=log

(2n-1)=2（n-1），

∴数列{log

a_n}的前n项和

T_n=2（1-1）+2（2-1）=2（3-1）+2（4-1）+…+2（n-1）

=2[0+1+2+3+…+（n-1）]

=2×

n(n-1)

=n（n-1）．

∵b_n=8n-5，T_n＞b_n，

∴n（n-1）＞8n-5，

∵n∈N^*，∴n≥9，

∴使T_n＞b_n的最小正整数n的值是9．