问题
解答题
设数列{an}满足：a1=，1，a2=
（1）令bn=an+1-an，（n=1，2…）求数列{bn}的通项公式； （2）求数列{nan}的前n项和Sn． |
答案
（1）∵bn+1=an+2-an+1=
an+1-5 3
an- an+12 3
=
(an+1-an)=2 3
bn2 3
∴{bn}是以公比为
的等比数列，且b1=a2-a1=2 3 2 3
∴bn=(
)n2 3
（2）由bn=an+1- an =(
)n得2 3
an+1-a1=（an+1-an）+（an-an-1）+…+（a2-a1）
=(
)n+(2 3
)n-1+…+ (2 3
)2+2 3
=2[1-(2 3
)n ]2 3
注意到a1=1，可得an=3-2n 3n-1
记数列{
}的前n项和为Tn，则n2n-1 3n-1
Tn=1+2•
+…+n•(2 3
)n-1，2 3
Tn=2 3
+2•(2 3
)2+…+n•(2 3
)n2 3
两式相减得
Tn=1+1 3
+(2 3
)2+ …+(2 3
)n-1-n•(2 3
) n=3[1-(2 3
)n]-n(2 3
)n2 3
故Tn=9[1-(
)n]-3n(2 3
)n=9-2 3 (3+n)2n 3n-1
从而Sn=a1+2a2+…+nan=3（1+2+3+…+n）-2Tn
=
n(n+1)+3 2
-18(n+3)2n+1 3n-1